Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00022449

а) Разберём прямые $MN$ и $PQ$ по отдельности. В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ взяты так, что $BM:BA=BN:BC=2:3$ (ведь $AM:MB=CN:NB=1:2$). Значит, по теореме Фалеса $MN\parallel AC$. В треугольнике $ADC$ точки $P$ и $Q$ — середины сторон $DA$ и $DC$, поэтому $PQ$ — средняя линия, и $PQ\parallel AC$.

Обе прямые параллельны одной и той же прямой $AC$, поэтому $MN\parallel PQ$. А две параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости. Следовательно, точки $M$, $N$, $P$, $Q$ компланарны, что и требовалось.

б) Сечение $MNQP$ — трапеция ($MN\parallel PQ$), и она режет пирамиду на два куска. Разберёмся на удобных координатах: $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $C(0;3;0)$, $D(0;0;3)$ (отношение объёмов от формы не зависит). Тогда $M(1;0;0)$, $N(1;2;0)$, $P\left(0;0;\tfrac32\right)$, $Q\left(0;\tfrac32;\tfrac32\right)$.

Плоскость сечения имеет уравнение $3x+2z=3$. Подставим вершины: для $A$ и $C$ выходит $0<3$, а для $B$ и $D$ — $9>3$ и $6>3$. Значит, сечение отделяет вершины $A$ и $C$ от вершин $B$ и $D$.

Объём всей пирамиды $V=\tfrac16\cdot27=\tfrac{27}{6}=4{,}5$. Кусок с вершинами $B$ и $D$ разобьём на три тетраэдра — $DBMN$, $DMNQ$, $DMQP$ — с объёмами $2$, $\tfrac12$ и $\tfrac38$; в сумме $\tfrac{23}{8}$. Тогда второй кусок (с $A$ и $C$) равен $4{,}5-\tfrac{23}{8}=\tfrac{13}{8}$.

Отношение объёмов $\dfrac{13}{8}:\dfrac{23}{8}=13:23$. Проверка: $\tfrac{13}{8}+\tfrac{23}{8}=\tfrac{36}{8}=4{,}5$ — совпадает с полным объёмом, всё сходится.