а) Разберём прямые MN и PQ по отдельности. В треугольнике ABC точки M и N взяты так, что BM:BA=BN:BC=2:3 (ведь AM:MB=CN:NB=1:2). Значит, по теореме Фалеса MN\parallel AC. В треугольнике ADC точки P и Q — середины сторон DA и DC, поэтому PQ — средняя линия, и PQ\parallel AC.

Обе прямые параллельны одной и той же прямой AC, поэтому MN\parallel PQ. А две параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости. Следовательно, точки M, N, P, Q компланарны, что и требовалось.

б) Сечение MNQP — трапеция (MN\parallel PQ), и она режет пирамиду на два куска. Разберёмся на удобных координатах: A(0;0;0), B(3;0;0), C(0;3;0), D(0;0;3) (отношение объёмов от формы не зависит). Тогда M(1;0;0), N(1;2;0), P\left(0;0;\tfrac32\right), Q\left(0;\tfrac32;\tfrac32\right).

Плоскость сечения имеет уравнение 3x+2z=3. Подставим вершины: для A и C выходит 0<3, а для B и D — 9>3 и 6>3. Значит, сечение отделяет вершины A и C от вершин B и D.

Объём всей пирамиды V=\tfrac16\cdot27=\tfrac{27}{6}=4{,}5. Кусок с вершинами B и D разобьём на три тетраэдра — DBMN, DMNQ, DMQP — с объёмами 2, \tfrac12 и \tfrac38; в сумме \tfrac{23}{8}. Тогда второй кусок (с A и C) равен 4{,}5-\tfrac{23}{8}=\tfrac{13}{8}.

Отношение объёмов \dfrac{13}{8}:\dfrac{23}{8}=13:23. Проверка: \tfrac{13}{8}+\tfrac{23}{8}=\tfrac{36}{8}=4{,}5 — совпадает с полным объёмом, всё сходится.