В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 2 , а боковое ребро SA равно 8 . Точка M — середина ребра AB . Плоскость альфа перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и D . Прямая SC пересекает плоскость альфа в точке K . а) Докажите, что KM равно KD . б) Найдите объём пирамиды CDKM .

а) доказано; б) дробь: числитель: 9 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента, знаменатель: 4 конец дроби

Задание 14 ЕГЭ по математике: В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB…

№2. Задание 14

ID: 00022280

В правильной шестиугольной пирамиде

SABCDEF

сторона основания

AB

равна

2

, а боковое ребро

SA

равно

8

. Точка

M

— середина ребра

AB

. Плоскость

\alpha

перпендикулярна плоскости

ABC

и содержит точки

M

D

. Прямая

SC

пересекает плоскость

\alpha

в точке

K

. а) Докажите, что

KM = KD

. б) Найдите объём пирамиды

CDKM

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

а) Пирамида правильная, поэтому её высота $SO$ ( $O$ — центр шестиугольника) перпендикулярна основанию. Сначала найдём одну замечательную точку в основании. Напомним два факта о правильном шестиугольнике: во-первых, $O$ — середина большой диагонали $AD$ ; во-вторых, $OC \parallel AB$ . Второй факт легко увидеть: треугольники $OAB$ и $OBC$ равносторонние, поэтому в четырёхугольнике $OABC$ все стороны равны стороне шестиугольника — это ромб, и его стороны $OC$ и $AB$ параллельны.

Теперь смотрим на треугольник $AMD$ (точка $M$ — на стороне $AB$ , так что $AM$ лежит на прямой $AB$ ). Прямая $OC$ проходит через середину $O$ стороны $AD$ параллельно стороне $AM$ — по теореме о средней линии она пересекает третью сторону $MD$ ровно в её середине. Назовём эту точку $P$ : итак, $P$ — середина $MD$ , она лежит на $OC$ , и $OP = \dfrac{AM}{2} = \dfrac{1}{2}$ . Радиус описанной окружности шестиугольника равен стороне, то есть $OC = 2$ , значит, $CP = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ и $\dfrac{CP}{CO} = \dfrac{3}{4}$ .

Подключаем стереометрию. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна основанию и пересекает его по прямой $MD$ (обе точки $M$ и $D$ лежат в основании). Плоскость $SOC$ тоже перпендикулярна основанию — она содержит высоту $SO$ . Обе плоскости проходят через $P$ : для $\alpha$ эта точка лежит на $MD$ , для $SOC$ — на $OC$ . Две пересекающиеся плоскости, перпендикулярные третьей, пересекаются по прямой, перпендикулярной этой третьей, — значит, $\alpha$ и $SOC$ пересекаются по вертикальной прямой через $P$ .

Точка $K$ — пересечение $SC$ с $\alpha$ . Но прямая $SC$ лежит в плоскости $SOC$ , поэтому $K$ принадлежит обеим плоскостям, то есть лежит на этой вертикали: $KP \perp (ABC)$ , и $P$ — проекция $K$ на основание.

Финал: прямоугольные треугольники $KPM$ и $KPD$ имеют общий катет $KP$ и равные катеты $PM = PD$ ( $P$ — середина $MD$ ). Значит, равны и гипотенузы: $KM = KD$ . Что и требовалось доказать.

б) Сначала высота $KP$ . В плоскости $SOC$ треугольник $SOC$ прямоугольный ( $SO \perp OC$ ), и $KP \parallel SO$ , поэтому по Фалесу $\dfrac{KP}{SO} = \dfrac{CP}{CO} = \dfrac{3}{4}$ . Сама высота пирамиды: $SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{64 - 4} = 2\sqrt{15}$ (радиус $OA$ равен стороне, то есть $2$ ). Значит, $KP = \dfrac{3}{4} \cdot 2\sqrt{15} = \dfrac{3\sqrt{15}}{2}$ .

Теперь площадь треугольника $CDM$ — он лежит в основании, и для пирамиды $CDKM$ это основание, а $KP$ — высота (перпендикуляр из $K$ к плоскости основания). Удобно отталкиваться от трапеции $ABCD$ : у неё $AD = 4$ (большая диагональ равна двум сторонам), $BC = 2$ , а расстояние между этими параллельными прямыми равно $\sqrt{3}$ — высота равностороннего треугольника со стороной $2$ . Площадь трапеции: $\dfrac{4 + 2}{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ . Вычитаем лишнее. Треугольник $ADM$ : основание $AD = 4$ , высота $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — точка $M$ , середина $AB$ , вдвое ближе к прямой $AD$ , чем $B$ ; площадь $\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ . Треугольник $MBC$ : основание $BC = 2$ , высота тоже $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; площадь $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Остаётся: $S_{CDM} = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ .

Объём: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{CDM} \cdot KP = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{3\sqrt{15}}{2} = \dfrac{3\sqrt{45}}{4} = \dfrac{3 \cdot 3\sqrt{5}}{4} = \dfrac{9\sqrt{5}}{4}$ . Проверка корня: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ — всё сходится. Ответ: $\dfrac{9\sqrt{5}}{4}$ .

Ответ

а) доказано; б)

\dfrac{9\sqrt{5}}{4}