а) Работаем с радиус-векторами вершин. По условию M=\tfrac{2A+B}{3}, N=\tfrac{2A+D}{3}, L=\tfrac{2B+C}{3}. Пусть плоскость пересекает ребро CD в точке P=(1-t)C+tD — надо найти t.

Точка P лежит в плоскости LMN, значит её можно записать как P=\alpha M+\beta N+\gamma L с \alpha+\beta+\gamma=1. Раскрыв и собрав коэффициенты при A, B, C, D, учтём, что у точки на CD коэффициенты при A и B обязаны обнулиться: отсюда \beta=-\alpha и \alpha=-2\gamma. Вместе с \alpha+\beta+\gamma=1 получаем \gamma=1, \alpha=-2, \beta=2.

Тогда коэффициент при D равен \tfrac{\beta}{3}=\tfrac23=t, а при C равен \tfrac{\gamma}{3}=\tfrac13=1-t. Значит P=\tfrac13 C+\tfrac23 D, то есть CP:PD=2:1, считая от C. Что и требовалось.

б) Сечение — четырёхугольник MLPN (плоскость режет рёбра AB, BC, CD, AD в точках M, L, P, N). Заметим сразу: MN\parallel BD (в треугольнике ABD обе точки отрезают от A по трети) и LP\parallel BD — значит, MN\parallel LP, перед нами трапеция.

Посчитаем длины при ребре 6. MN=\tfrac13 BD=\tfrac13\cdot6=2, а LP=\tfrac23 BD=4. Боковые стороны получаются равными: ML=NP=2\sqrt3 (прямой счёт в координатах правильного тетраэдра). Итак, трапеция равнобедренная: основания 2 и 4, боковые 2\sqrt3.

Высота трапеции: сдвиг у каждой боковой стороны равен \tfrac{4-2}{2}=1, поэтому h=\sqrt{(2\sqrt3)^2-1^2}=\sqrt{12-1}=\sqrt{11}. Площадь S=\tfrac{2+4}{2}\cdot\sqrt{11}=3\sqrt{11}. Проверка: разбив сечение на два треугольника и посчитав их площади через векторное произведение, снова получаем 2\sqrt{11}+\sqrt{11}=3\sqrt{11} — всё сходится.