Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00022450

а) Работаем с радиус-векторами вершин. По условию $M=\tfrac{2A+B}{3}$, $N=\tfrac{2A+D}{3}$, $L=\tfrac{2B+C}{3}$. Пусть плоскость пересекает ребро $CD$ в точке $P=(1-t)C+tD$ — надо найти $t$.

Точка $P$ лежит в плоскости $LMN$, значит её можно записать как $P=\alpha M+\beta N+\gamma L$ с $\alpha+\beta+\gamma=1$. Раскрыв и собрав коэффициенты при $A$, $B$, $C$, $D$, учтём, что у точки на $CD$ коэффициенты при $A$ и $B$ обязаны обнулиться: отсюда $\beta=-\alpha$ и $\alpha=-2\gamma$. Вместе с $\alpha+\beta+\gamma=1$ получаем $\gamma=1$, $\alpha=-2$, $\beta=2$.

Тогда коэффициент при $D$ равен $\tfrac{\beta}{3}=\tfrac23=t$, а при $C$ равен $\tfrac{\gamma}{3}=\tfrac13=1-t$. Значит $P=\tfrac13 C+\tfrac23 D$, то есть $CP:PD=2:1$, считая от $C$. Что и требовалось.

б) Сечение — четырёхугольник $MLPN$ (плоскость режет рёбра $AB$, $BC$, $CD$, $AD$ в точках $M$, $L$, $P$, $N$). Заметим сразу: $MN\parallel BD$ (в треугольнике $ABD$ обе точки отрезают от $A$ по трети) и $LP\parallel BD$ — значит, $MN\parallel LP$, перед нами трапеция.

Посчитаем длины при ребре $6$. $MN=\tfrac13 BD=\tfrac13\cdot6=2$, а $LP=\tfrac23 BD=4$. Боковые стороны получаются равными: $ML=NP=2\sqrt3$ (прямой счёт в координатах правильного тетраэдра). Итак, трапеция равнобедренная: основания $2$ и $4$, боковые $2\sqrt3$.

Высота трапеции: сдвиг у каждой боковой стороны равен $\tfrac{4-2}{2}=1$, поэтому $h=\sqrt{(2\sqrt3)^2-1^2}=\sqrt{12-1}=\sqrt{11}$. Площадь $S=\tfrac{2+4}{2}\cdot\sqrt{11}=3\sqrt{11}$. Проверка: разбив сечение на два треугольника и посчитав их площади через векторное произведение, снова получаем $2\sqrt{11}+\sqrt{11}=3\sqrt{11}$ — всё сходится.