Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00022451

а) Возьмём диагональ $BD$ основания. В квадрате диагонали перпендикулярны, поэтому $BD\perp AC$. Кроме того, $BD$ лежит в плоскости основания, а высота $SO$ перпендикулярна основанию, значит $BD\perp SO$. Итак, $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $SO$ плоскости $SAC$ — стало быть, $BD\perp$ плоскости $SAC$, а вместе с ней и $BD\perp SC$ (ребро $SC$ лежит в этой плоскости).

Плоскость $\alpha$ проведена через $O$ перпендикулярно $SC$. Прямая $BD$ проходит через $O$ и перпендикулярна $SC$ — значит, она целиком лежит в $\alpha$. Следовательно, $\alpha$ содержит точки $B$ и $D$, что и требовалось.

б) Сечение — треугольник $BDT$, где $T=\alpha\cap SC$ (плоскость проходит через $B$, $D$ и упирается в ребро $SC$). Его площадь удобно считать так: основание $BD=\sqrt2$ (диагональ квадрата со стороной $1$), а высота — это $OT$, ведь $O$ — середина $BD$ и $OT\perp BD$. Значит $S_{BDT}=\tfrac12\cdot BD\cdot OT=\tfrac{\sqrt2}{2}\,OT$.

Приравняем к данной площади: $\tfrac{\sqrt2}{2}\,OT=\tfrac{\sqrt2}{3}$, откуда $OT=\tfrac23$. Но $OT$ — расстояние от $O$ до прямой $SC$ (ведь $\alpha\perp SC$, а $OT$ лежит в $\alpha$). В прямоугольном треугольнике $SOC$ (прямой угол при $O$) с катетами $OC=\tfrac{\sqrt2}{2}$ и $OS=h$ высота к гипотенузе равна $\tfrac{OC\cdot OS}{SC}=\tfrac{\tfrac{\sqrt2}{2}h}{\sqrt{\tfrac12+h^2}}=\tfrac23$. Решая, получаем $h^2=4$, $h=2$.

Теперь найдём положение $T$ на $SC$. Параметр $s=\tfrac{ST}{SC}=\tfrac{2h^2}{1+2h^2}=\tfrac{8}{9}$. Значит $ST:TC=\tfrac89:\tfrac19=8:1$, считая от вершины $S$. Проверка: при $h=2$ высота $OT=\tfrac{(\sqrt2/2)\cdot2}{\sqrt{4{,}5}}=\tfrac23$, площадь $\tfrac{\sqrt2}{2}\cdot\tfrac23=\tfrac{\sqrt2}{3}$ — всё сходится.