Задание 15 ЕГЭ по математике №00005357

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения пирамид

№2. Задание 15

ID: 00005357

На ребре $$SD$$ правильной четырёхугольной пирамиды $$SABCD$$ с основанием $$ABCD$$ отмечена точка $$M$$ , причём $$SM : MD = 3 : 2$$ . Точки $$P$$ , $$Q$$ — середины рёбер $$BC$$ , $$AD$$ соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $$MPQ$$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $$MPQ$$ разбивает пирамиду.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

$$M$$ на $$SD$$ ( $$SM:MD=3:2$$ ), $$P,Q$$ — середины $$BC,AD$$ . $PQ\parallel AB\parallel CD$ , а сечение $$MPQ$$ пересекает грань $$SBC$$ по прямой, параллельной $$PQ$$ — значит сечение трапеция (равнобедренная по симметрии). Что и требовалось.

Пункт б (вычисление).

Отношение объёмов частей, на которые $$MPQ$$ делит пирамиду, равно $$13:37$$ .

Ответ

б) $V_{верх} : V_{ниж} = 13 : 37$ .

Другие задания по теме «Сечения пирамид» (8)