ID: 00005357
На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM : MD = 3 : 2$. Точки $P$, $Q$ — середины рёбер $BC$, $AD$ соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
$M$ на $SD$ ($SM:MD=3:2$), $P,Q$ — середины $BC,AD$. $PQ\parallel AB\parallel CD$, а сечение $MPQ$ пересекает грань $SBC$ по прямой, параллельной $PQ$ — значит сечение трапеция (равнобедренная по симметрии). Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
Отношение объёмов частей, на которые $MPQ$ делит пирамиду, равно $13:37$.
б) $V_{верх} : V_{ниж} = 13 : 37$.