ID: 00005355
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB = 8$, боковое ребро $SA = 7$. На рёбрах $AB, SB$ отмечены точки $M, K$ соответственно, причём $AM = 2, SK = 1$. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $ABC$ и содержит точки $M, K$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $C$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты. Основание — квадрат со стороной $8$: $A(0;0;0)$, $B(8;0;0)$, $C(8;8;0)$, $D(0;8;0)$, центр $O(4;4;0)$.
Диагональ основания $AC = 8\sqrt2$, значит $AO = 4\sqrt2$. Из прямоугольного треугольника $SOA$: $SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{49 - 32} = \sqrt{17}$, поэтому $S(4;4;\sqrt{17})$.
Точка $M$ на $AB$ с $AM = 2$: $M(2;0;0)$.
Точка $K$ на $SB$ с $SK = 1$, а $SB = SA = 7$, значит $\vec{SK} = \tfrac17\vec{SB}$ и$$K\left(\tfrac{32}{7};\ \tfrac{24}{7};\ \tfrac{6\sqrt{17}}{7}\right).$$
Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания, значит она «вертикальна»: её след на основании — прямая, проходящая через $M$ и через проекцию точки $K$, то есть через $K_1\left(\tfrac{32}{7};\tfrac{24}{7};0\right)$.
Найдём направляющий вектор этого следа: $\vec{MK_1} = \left(\tfrac{32}{7}-2;\ \tfrac{24}{7}\right) = \left(\tfrac{18}{7};\ \tfrac{24}{7}\right)$, то есть он сонаправлен вектору $(3;4)$.
А теперь $\vec{MC} = (8-2;\ 8-0) = (6;8)$ — тоже сонаправлен $(3;4)$. Значит точка $C$ лежит на прямой $MK_1$, а вместе с ней — и в плоскости $\alpha$.
Формально: уравнение плоскости $\alpha$ есть $4x - 3y = 8$ (нормаль $(4;-3;0)$ горизонтальна, что и означает $\alpha\perp ABC$; подстановка $M$ даёт $8-0=8$, подстановка $K$ даёт $\tfrac{128}{7}-\tfrac{72}{7}=8$). Подставим $C(8;8;0)$: $4\cdot8 - 3\cdot 8 = 8$ — верно. Значит $C\in\alpha$, что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Посмотрим, как $\alpha$ рассекает пирамиду. Подставим вершины в $4x-3y$:
$A:\ 0$, $B:\ 32$, $C:\ 8$, $D:\ -24$, $S:\ 4$.
Плоскость отвечает значению $8$. Вершина $C$ лежит в плоскости, вершина $B$ — по одну сторону ($32>8$), а $A$, $D$ и $S$ — по другую ($0$, $-24$, $4$ — все меньше $8$). Значит плоскость отсекает «уголок» при вершине $B$ и пересекает ровно два ребра: $AB$ (в точке $M$) и $SB$ (в точке $K$), а ещё проходит через вершину $C$.
Сечение — треугольник $MKC$: по основанию идёт отрезок $MC$, по грани $SAB$ — отрезок $MK$, по грани $SBC$ — отрезок $KC$.
Найдём его площадь через векторное произведение. $\vec{MC} = (6;\ 8;\ 0)$, $\vec{MK} = \left(\tfrac{18}{7};\ \tfrac{24}{7};\ \tfrac{6\sqrt{17}}{7}\right)$.
$$\vec{MC}\times\vec{MK} = \left(8\cdot\tfrac{6\sqrt{17}}{7} - 0;\ \ 0 - 6\cdot\tfrac{6\sqrt{17}}{7};\ \ 6\cdot\tfrac{24}{7} - 8\cdot\tfrac{18}{7}\right) = \left(\tfrac{48\sqrt{17}}{7};\ -\tfrac{36\sqrt{17}}{7};\ 0\right).$$
$$\left|\vec{MC}\times\vec{MK}\right| = \frac{\sqrt{17}}{7}\sqrt{48^2+36^2} = \frac{\sqrt{17}}{7}\cdot 60 = \frac{60\sqrt{17}}{7}.$$
$$S_{MKC} = \frac12\cdot\frac{60\sqrt{17}}{7} = \frac{30\sqrt{17}}{7}.$$
Ответ: $\dfrac{30\sqrt{17}}{7}$.
$\dfrac{30\sqrt{17}}{7}$