ID: 00004489
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} y = (a+2)x^2+2ax+a-2 \\ y^2 = x^2 \end{cases}$ имеет ровно четыре различных решения.
Источник: ФИПИ
Второе уравнение $y^2=x^2$ означает $y=x$ или $y=-x$ — рассмотрим оба случая. Цель — ровно четыре решения.
Подставляем каждую прямую в параболу $y=(a+2)x^2+2ax+a-2$:
$$y=x:\ (a+2)x^2+(2a-1)x+(a-2)=0;\quad y=-x:\ (a+2)x^2+(2a+1)x+(a-2)=0.$$
Четыре различных решения — когда оба квадратных уравнения дают по два корня и все точки различны.
Пишем условия на дискриминанты и следим за совпадениями. Особое внимание точке $x=0$: она лежит на обеих прямых ($y=x$ и $y=-x$ пересекаются в начале), поэтому если оба уравнения имеют корень $x=0$, это ОДНА точка, а не две.
Сводя условия, получаем границы $\pm\dfrac{17}{4}$ и $\pm2$. Ответ: $\left(-\dfrac{17}{4};-2\right)\cup(-2;2)\cup\left(2;\dfrac{17}{4}\right)$. (В банке для 00013760 стояла граница $\dfrac{17}{2}$ — это была опечатка, верно $\dfrac{17}{4}$, как у точного двойника 00004489.)
$\left(-\dfrac{17}{4};\,-2\right)\cup(-2;\,2)\cup\left(2;\,\dfrac{17}{4}\right)$