Задание 19 ЕГЭ по математике №00004489

Второе уравнение $y^2=x^2$ означает $y=x$ или $y=-x$ — рассмотрим оба случая. Цель — ровно четыре решения.

Подставляем каждую прямую в параболу $y=(a+2)x^2+2ax+a-2$:

$$y=x:\ (a+2)x^2+(2a-1)x+(a-2)=0;\quad y=-x:\ (a+2)x^2+(2a+1)x+(a-2)=0.$$

Четыре различных решения — когда оба квадратных уравнения дают по два корня и все точки различны.

Пишем условия на дискриминанты и следим за совпадениями. Особое внимание точке $x=0$: она лежит на обеих прямых ($y=x$ и $y=-x$ пересекаются в начале), поэтому если оба уравнения имеют корень $x=0$, это ОДНА точка, а не две.

Сводя условия, получаем границы $\pm\dfrac{17}{4}$ и $\pm2$. Ответ: $\left(-\dfrac{17}{4};-2\right)\cup(-2;2)\cup\left(2;\dfrac{17}{4}\right)$. (В банке для 00013760 стояла граница $\dfrac{17}{2}$ — это была опечатка, верно $\dfrac{17}{4}$, как у точного двойника 00004489.)