ID: 00004487
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} x + y = a \\ |y| = |x^2 - 2x| \end{cases}$ имеет ровно два различных решения.
Источник: ФИПИ
Из первого уравнения $y=a-x$. Подставляем во второе $|y|=|x^2-2x|$:
$$|a-x|=|x^2-2x|.$$
Равенство модулей $|A|=|B|$ означает $A=B$ или $A=-B$, то есть распадается на два квадратных уравнения: $a-x=x^2-2x$ и $a-x=-(x^2-2x)$.
Решаем оба, считаем РАЗЛИЧНЫЕ корни $x$ (каждый даёт одно $y=a-x$). Цель — ровно два решения.
Удобно посмотреть на это как на пересечение горизонтали «уровня $a$» с графиком: число решений меняется в точках, где меняется число пересечений. Получаем, что ровно два решения — при $a\lt -\dfrac14$ или $a\gt \dfrac94$.
$\left(-\infty;\,-\dfrac14\right)\cup\left(\dfrac94;\,+\infty\right)$