Задание 19 ЕГЭ по математике №00004486

Из второго уравнения $4|y|+x^2+8x=0$ выразим $4|y|=-(x^2+8x)$. Так как $|y|\ge0$, правая часть тоже $\ge0$, значит $x^2+8x\le0$, то есть сразу $x\in[-8;0]$. И $|y|=-\dfrac{x^2+8x}{4}$.

Подставляем $y=|x-a|-4$: получаем уравнение только относительно $x$:

$$4\,\big||x-a|-4\big|+x^2+8x=0.$$

Геометрически: «галка» $y=|x-a|-4$ с вершиной в точке $x=a$ должна пересечь кривую $|y|=-\dfrac{x^2+8x}{4}$ ровно в ЧЕТЫРЁХ точках.

Двигаем вершину $a$ и следим за числом пересечений. Когда вершина «галки» правильно расположена относительно дуги, получается четыре точки; на краях число падает.

Разбор даёт два интервала с выколотой точкой $a=-4$ (там пересечений становится меньше четырёх).