ID: 00004486
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} y = |x - a| - 4 \\ 4|y| + x^2 + 8x = 0 \end{cases}$ имеет ровно четыре различных решения.
Источник: ФИПИ
Из второго уравнения $4|y|+x^2+8x=0$ выразим $4|y|=-(x^2+8x)$. Так как $|y|\ge0$, правая часть тоже $\ge0$, значит $x^2+8x\le0$, то есть сразу $x\in[-8;0]$. И $|y|=-\dfrac{x^2+8x}{4}$.
Подставляем $y=|x-a|-4$: получаем уравнение только относительно $x$:
$$4\,\big||x-a|-4\big|+x^2+8x=0.$$
Геометрически: «галка» $y=|x-a|-4$ с вершиной в точке $x=a$ должна пересечь кривую $|y|=-\dfrac{x^2+8x}{4}$ ровно в ЧЕТЫРЁХ точках.
Двигаем вершину $a$ и следим за числом пересечений. Когда вершина «галки» правильно расположена относительно дуги, получается четыре точки; на краях число падает.
Разбор даёт два интервала с выколотой точкой $a=-4$ (там пересечений становится меньше четырёх).
$(-5;\,-4)\cup(-4;\,-3)$