Задание 19 ЕГЭ по математике №00004482

В первом уравнении выражение $x^2+y^2+4x$ — это окружность: $x^2+y^2+4x=0$ равносильно $(x+2)^2+y^2=4$ (центр $(-2,0)$, радиус $2$). Подставим прямую $y=x+a$. Цель — ровно два решения. ОДЗ корня: $2x+y+6\ge0$.

Два типа решений. Первый: $\sqrt{2x+y+6}=0$ — точка прямой $y=x+a$ на прямой $2x+y+6=0$ (одно решение). Второй: точки окружности на прямой $y=x+a$, удовлетворяющие $2x+y+6\ge0$ — это корни квадратного $2x^2+(2a+4)x+a^2=0$.

Геометрически: прямая $y=x+a$ скользит с параметром $a$. Считаем её общие точки с окружностью (с учётом ограничения-полуплоскости) плюс граничную точку.

Ровно два решения получается на отрезке $\left[0;\dfrac{24}{5}\right]$ (когда прямая режет окружность как надо) и в двух точках касания $a=2\pm2\sqrt2$ (там прямая касается окружности).