Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00004479

В уравнении и $x$, и $a$ во второй степени. Удобный приём — посмотреть на него как на квадратное уравнение ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАМЕТРА $a$ (так часто проще). Цель — ровно четыре корня по $x$.

$$a^2-(x+6)a+(-2x^2+3x+9|x|)=0.$$

Решаем относительно $a$ — но удобнее раскрыть модуль $|x|$ по знаку $x$ и для каждой ветви выразить $a$ через $x$.

При $x\ge0$: $9|x|=9x$, и уравнение даёт одну зависимость $a$ от $x$; при $x\lt 0$: $9|x|=-9x$ — другую. Получаем, по сути, две «ветви» кривой $a(x)$.

Теперь смотрим обратно: для фиксированного $a$ считаем, сколько значений $x$ ему отвечает (это число точек пересечения горизонтали уровня $a$ с двумя ветвями).

Ровно четыре корня по $x$ получается на объединении трёх интервалов (границы — там, где корни сливаются: $a=0,2,4,6$).