Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00004475

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, А знаменатель НЕ равен нулю. Цель — ровно два различных корня.

Числитель: $9x^2-a^2=0$, откуда два кандидата $x=\dfrac{a}{3}$ и $x=-\dfrac{a}{3}$.

Знаменатель: $x^2+8x+16-a^2=(x+4)^2-a^2$ не должен обращаться в нуль, то есть $(x+4)^2\ne a^2$.

Когда корней ровно два? Нужно, чтобы кандидаты были различны (это требует $a\ne0$, иначе оба равны нулю) и чтобы НИ ОДИН из них не обнулял знаменатель.

Найдём опасные $a$: подставим $x=\pm\dfrac{a}{3}$ в $(x+4)^2=a^2$. Решая, получаем $a=\pm3$ и $a=\pm6$ — при этих значениях один из корней «сокращается» со знаменателем и пропадает, оставляя только один корень.

Значит подходят все $a$, кроме $0,\ \pm3,\ \pm6$: ответ $(-\infty;-6)\cup(-6;-3)\cup(-3;0)\cup(0;3)\cup(3;6)\cup(6;+\infty)$.