Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00004472

Произведение ноль — значит ноль либо логарифм, либо корень. ОДЗ: под логарифмом $4x-1>0$, то есть $x>\dfrac{1}{4}$; под корнем $x^2-6x+6a-a^2\ge0$.

1) $\ln(4x-1)=0$ значит $4x-1=1$, откуда $x=\dfrac{1}{2}$. Эта точка годится, если под корнем неотрицательно: $\dfrac{1}{4}-3+6a-a^2=-\dfrac{11}{4}+6a-a^2\ge0$, то есть $a^2-6a+\dfrac{11}{4}\le0$. Корни этого квадратного трёхчлена $a=\dfrac{1}{2}$ и $a=\dfrac{11}{2}$, значит $x=\dfrac{1}{2}$ работает при $\dfrac{1}{2}\le a\le\dfrac{11}{2}$.

2) $\sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0$ значит $x^2-6x+6a-a^2=0$. Разложим: сумма корней $6$, произведение $6a-a^2=a(6-a)$, поэтому $x=a$ или $x=6-a$. Но в этих точках должен существовать логарифм: $4x-1>0$, то есть $x>\dfrac{1}{4}$. Отсюда $x=a$ годится при $\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4}$ и $6-a\le3$, то есть $3\le a<\dfrac{23}{4}$.

Собираем корни на $[0;3]$:

• при $a\le\dfrac{1}{4}$ ни один множитель корня не даёт: $0$ корней;

• при $\dfrac{1}{4}</p><p>• при$a=\dfrac{1}{2}$корень$x=a=\dfrac{1}{2}$совпадает с логарифмным$x=\dfrac{1}{2}$: ровно один — годится;</p><p>• при$\dfrac{1}{2}

• при $a=3$ есть $x=\dfrac{1}{2}$ и $x=a=6-a=3$: два корня — не годится;

• при $3</p><p>• при$a=\dfrac{11}{2}$корень$x=6-a=\dfrac{1}{2}$совпал с логарифмным$x=\dfrac{1}{2}$: ровно один — годится;</p><p>• при$\dfrac{11}{2}\dfrac{11}{2}$), остаётся только$x=6-a\in\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$: ровно один — годится;</p><p>• при$a\ge\dfrac{23}{4}$точка$x=6-a\le\dfrac{1}{4}$вне ОДЗ логарифма:$0$корней.</p><p>Ответ:$a\in\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[\dfrac{11}{2};\dfrac{23}{4}\right)$. Границы: при$a=\dfrac{1}{2}$и$a=\dfrac{11}{2}$два корня склеиваются в$\dfrac{1}{2}$— остаётся один, берём; при$a=\dfrac{1}{4}$и$a=\dfrac{23}{4}$ корень выпадает из ОДЗ логарифма — не берём. Всё сходится.