Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00004471

Произведение равно нулю — ноль либо корень, либо логарифм. ОДЗ: под корнем $7x-4\ge0$, то есть $x\ge\dfrac{4}{7}$ (на $[0;4]$ остаётся $\left[\dfrac{4}{7};4\right]$), и аргумент логарифма $x^2-8x+17-a^2>0$.

1) $\sqrt{7x-4}=0$ даёт $x=\dfrac{4}{7}$. Логарифм там определён, если $\left(\dfrac{4}{7}\right)^2-8\cdot\dfrac{4}{7}+17-a^2=\dfrac{16}{49}-\dfrac{32}{7}+17-a^2=\dfrac{625}{49}-a^2>0$, то есть $|a|<\dfrac{25}{7}$.

2) $\ln(\ldots)=0$ значит $x^2-8x+17-a^2=1$, то есть $x^2-8x+16=a^2$, или $(x-4)^2=a^2$. Отсюда $x=4-a$ или $x=4+a$ (аргумент там равен $1>0$). Загоняем в $\left[\dfrac{4}{7};4\right]$: $x=4-a$ при $0\le a\le\dfrac{24}{7}$; $x=4+a$ при $-\dfrac{24}{7}\le a\le0$.

Задача симметрична по знаку $a$, разберём $a\ge0$:

• при $a=0$ есть $x=\dfrac{4}{7}$ и $x=4$ (корни $4\pm a$ слились): два корня — не годится;

• при $0</p><p>• при$a=\dfrac{24}{7}$корень$x=4-a=\dfrac{4}{7}$совпал с первым, а$x=4+a$вне отрезка: ровно один — годится;</p><p>• при$\dfrac{24}{7}

• при $a\ge\dfrac{25}{7}$ точка $\dfrac{4}{7}$ вне ОДЗ логарифма: $0$ корней.

Для $a\ge0$ подходит $\left[\dfrac{24}{7};\dfrac{25}{7}\right)$, по симметрии для $a\le0$ — $\left(-\dfrac{25}{7};-\dfrac{24}{7}\right]$.

Ответ: $a\in\left(-\dfrac{25}{7};-\dfrac{24}{7}\right]\cup\left[\dfrac{24}{7};\dfrac{25}{7}\right)$. Границы: при $a=\dfrac{24}{7}$ два корня склеились в $\dfrac{4}{7}$ — берём; при $a=\dfrac{25}{7}$ логарифм в точке $\dfrac{4}{7}$ умирает — не берём. Всё сходится.