Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00004466

Исследуем функцию через производную — она показывает, где функция растёт, а где убывает.

Находим производную почленно:

$$y' = 3x^2 - 28x + 49.$$

Критические точки — нули производной. Решаем квадратное уравнение:

$$D = 28^2 - 4 \cdot 3 \cdot 49 = 784 - 588 = 196 = 14^2,$$

$$x = \dfrac{28 \pm 14}{6}, \qquad x_1 = \dfrac{7}{3}, \quad x_2 = 7.$$

Производная — парабола ветвями вверх: она положительна до меньшего корня, отрицательна между корнями и положительна после большего.

Значит, до $\dfrac{7}{3}$ функция растёт, между $\dfrac{7}{3}$ и $7$ — убывает, после $7$ — растёт.

В точке $x = 7$ убывание сменяется ростом — это точка минимума.

$$x_{\min} = 7.$$