Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00004460

Перепишем функцию в степенном виде: $y = x^{3/2} - 3x + 17$, корень определён при $x \ge 0$.

Производная почленно:

$$y' = \dfrac{3}{2}\sqrt{x} - 3.$$

Нуль производной:

$$\dfrac{3}{2}\sqrt{x} = 3 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x} = 2 \quad\Rightarrow\quad x = 4.$$

Знаки: $\sqrt{x}$ растёт, поэтому при $x \lt 4$ производная отрицательна (функция убывает), при $x \gt 4$ — положительна (растёт).

Убывание сменяется ростом — это точка минимума.

$$x_{\min} = 4.$$