ID: 00004453
Найдите точку минимума функции $y = x^3 - 108x + 23$.
Источник: ФИПИ
Исследуем функцию через производную — она показывает, где функция растёт, а где убывает.
Находим производную степенной функции почленно:
$$y' = 3x^2 - 108.$$
Критические точки — нули производной:
$$3x^2 = 108 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 36 \quad\Rightarrow\quad x = -6 \ \text{или}\ x = 6.$$
Определяем знаки производной: $y' = 3(x-6)(x+6)$ — парабола ветвями вверх, отрицательная между корнями.
До $x = -6$ функция растёт, между $-6$ и $6$ — убывает, после $6$ — снова растёт.
Убывание сменяется ростом в точке $x = 6$ — это и есть точка минимума.
$$x_{\min} = 6.$$