Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00004453

Исследуем функцию через производную — она показывает, где функция растёт, а где убывает.

Находим производную степенной функции почленно:

$$y' = 3x^2 - 108.$$

Критические точки — нули производной:

$$3x^2 = 108 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 36 \quad\Rightarrow\quad x = -6 \ \text{или}\ x = 6.$$

Определяем знаки производной: $y' = 3(x-6)(x+6)$ — парабола ветвями вверх, отрицательная между корнями.

До $x = -6$ функция растёт, между $-6$ и $6$ — убывает, после $6$ — снова растёт.

Убывание сменяется ростом в точке $x = 6$ — это и есть точка минимума.

$$x_{\min} = 6.$$