ID: 00004451
Водолазный колокол, содержащий $\nu = 6 \text{ моль}$ воздуха при давлении $p_1 = 2,5 \text{ атмосферы}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ (в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле: $A = \alpha \nu T \log_2 \dfrac{p_2}{p_1}$, где $\alpha = 5,75 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}$ — постоянная, $T = 300 \text{ К}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $10\,350 \text{ Дж}$. Ответ дайте в атмосферах.
Источник: ФИПИ
Подставим в формулу $A=\alpha\nu T\log_2\dfrac{p_2}{p_1}$ числа: $\alpha=5{,}75$, $\nu=6$, $T=300$, $p_1=2{,}5$ и работу $A=10\,350$:
Множитель перед логарифмом:
$$\alpha\nu T=5{,}75\cdot6\cdot300=10350$$
Разделим работу на него, чтобы остался логарифм:
$$\log_2\dfrac{p_2}{2{,}5}=\dfrac{10350}{10350}=1$$
По определению логарифма отношение равно $2^1=2$:
$$\dfrac{p_2}{2{,}5}=2\Rightarrow p_2=5\ \text{атм}$$