Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00004406

Здесь в дроби намешаны и многочлены от $x$, и степени двойки. Разложим всё на множители и применим метод интервалов по переменной $x$.

Числитель: $8^{x}-5\cdot 2^{x}=2^{x}\big((2^{x})^{2}-5\big)=2^{x}(4^{x}-5)$. Множитель $2^{x}\gt 0$ на знак не влияет, а нуль даёт $4^{x}=5$, то есть $x=\log_2\sqrt5\approx 1{,}16$.

Знаменатель: $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$. А выражение $2^{x}-2^{4-x}$ равно нулю, когда показатели равны: $x=4-x$, то есть $x=2$; при $x\gt 2$ оно положительно, при $x\lt 2$ отрицательно.

Неравенство сводится к (сократив положительный $2^{x}$):

$$\dfrac{4^{x}-5}{(x-1)(x+1)(2^{x}-2^{4-x})}\geqslant 0.$$

Отметим на прямой точки по возрастанию: $-1$, $1$, $\log_2\sqrt5\approx 1{,}16$, $2$. Расставим знаки каждого множителя на промежутках.

Получаем, что дробь неотрицательна на $(-\infty;-1)$, на $(1;\log_2\sqrt5]$ (нуль числителя входит) и на $(2;+\infty)$. Точки $-1$, $1$, $2$ выколоты (там знаменатель ноль). Итог: $(-\infty;-1)\cup(1;\log_2\sqrt5]\cup(2;+\infty)$.