Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004403

Выглядит страшно, но присмотрись: вся конструкция собрана из степеней двойки. Значит, делаем замену $t=2^x$, где $t>0$. Пересчитаем каждый кусок: $8^{x+\frac{2}{3}}=8^x\cdot 8^{\frac{2}{3}}=4t^3$, $4^{x+\frac{1}{2}}=4^x\cdot 2=2t^2$, $2^{x+1}=2t$. Неравенство превращается в $\dfrac{4t^3-18t^2+13t-13}{2t^2-9t+4}\le 2t-\dfrac{1}{t-2}+\dfrac{3}{2t-1}$.

Знаменатель слева раскладывается: $2t^2-9t+4=(2t-1)(t-4)$ — корни $t=\dfrac{1}{2}$ и $t=4$. Теперь выделим целую часть дроби слева: делим $4t^3-18t^2+13t-13$ на $2t^2-9t+4$ уголком и получаем $4t^3-18t^2+13t-13=2t\cdot\left(2t^2-9t+4\right)+(5t-13)$. То есть слева стоит $2t+\dfrac{5t-13}{(2t-1)(t-4)}$. Слагаемое $2t$ есть и справа — оно взаимно уничтожается, остаётся $\dfrac{5t-13}{(2t-1)(t-4)}+\dfrac{1}{t-2}-\dfrac{3}{2t-1}\le 0$.

Сложим первую и третью дроби — у них общий знаменатель, если домножить третью на $t-4$: $\dfrac{5t-13-3(t-4)}{(2t-1)(t-4)}=\dfrac{2t-1}{(2t-1)(t-4)}=\dfrac{1}{t-4}$ (сократили на $2t-1$, помня, что $t\ne\dfrac{1}{2}$). Всё неравенство схлопывается в $\dfrac{1}{t-4}+\dfrac{1}{t-2}\le 0$, то есть $\dfrac{2t-6}{(t-2)(t-4)}\le 0$, или $\dfrac{2(t-3)}{(t-2)(t-4)}\le 0$.

Метод интервалов по $t$: точки $2$ и $4$ выколоты (знаменатели), точка $3$ закрашена. При $t&lt;2$ дробь отрицательна — подходит; на $(2;\,3)$ положительна — мимо; на $[3;\,4)$ неположительна — подходит; при $t&gt;4$ снова плюс. И не забываем родные ограничения: $t&gt;0$ (это же $2^x$) и $t\ne\dfrac{1}{2}$, иначе в исходном неравенстве $2^{x+1}-1=0$. Итого по $t$: $0</p><p>Возвращаемся к$x$. Из$0<2^x<2$и$2^x\ne\dfrac{1}{2}$получаем$x<1$,$x\ne -1$. Из$3\le 2^x<4$получаем$\log_2 3\le x<2$. Проверим граничную точку$t=3$, то есть$x=\log_2 3$: слева$\dfrac{4\cdot 27-18\cdot 9+39-13}{2\cdot 9-27+4}=\dfrac{-28}{-5}=5{,}6$, справа$6-1+0{,}6=5{,}6$— равенство, точка входит. Всё сходится: ответ$(-\infty;\,-1)\cup(-1;\,1)\cup[\log_2 3;\,2)$.