Неравенство громоздкое, но всюду прячется 2^{x}. Заменим его буквой t, соберём всё в одну дробь — и числитель красиво разложится.

Пусть t=2^{x}, t\gt 0. Распишем степени: 8^{x+2/3}=8^{2/3}\cdot 8^{x}=4t^{3}, 4^{x+1/2}=2\cdot 4^{x}=2t^{2}, 2^{x+1}=2t. Знаменатель левой дроби 4^{x+1/2}-9\cdot 2^{x}+4=2t^{2}-9t+4=(2t-1)(t-4).

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю (2t-1)(t-2)(t-4). После приведения подобных числитель сворачивается в 2(t-3)(2t-1):

\dfrac{2(t-3)(2t-1)}{(2t-1)(t-2)(t-4)}\leqslant 0.

Сократим на 2t-1 (точка t=\tfrac12 при этом из области определения исключена — там был нуль знаменателя):

\dfrac{t-3}{(t-2)(t-4)}\leqslant 0.

Нуль числителя t=3 входит, точки t=2, t=4 выколоты, и отдельно выколота t=\tfrac12. На луче t\gt 0 дробь не больше нуля на (0;2) (кроме t=\tfrac12) и на [3;4).

Возвращаемся к x: 0\lt t\lt \tfrac12 даёт x\lt -1; \tfrac12\lt t\lt 2 даёт -1\lt x\lt 1; 3\leqslant t\lt 4 даёт \log_2 3\leqslant x\lt 2. Итог: (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup[\log_2 3;2).