ID: 00004401
Решите неравенство $\dfrac{3^x + 9}{3^x - 9} + \dfrac{3^x - 9}{3^x + 9} \geqslant \dfrac{4 \cdot 3^{x+1} + 144}{9^x - 81}$
Источник: ФИПИ
Слева — дробь и обратная к ней, всюду сидит $3^{x}$. Заменим степень буквой и соберём всё в одну дробь.
Пусть $t=3^{x}$, $t\gt 0$. Тогда $9^{x}=(3^{x})^{2}=t^{2}$ и $3^{x+1}=3t$. Левую часть приводим к общему знаменателю $(t-9)(t+9)$: числитель $(t+9)^{2}+(t-9)^{2}=2t^{2}+162$. Правая часть: $\dfrac{4\cdot 3t+144}{t^{2}-81}=\dfrac{12t+144}{(t-9)(t+9)}$.
Знаменатели одинаковые, поэтому сравниваем числители; перенесём правый влево:
$$\dfrac{2t^{2}+162-12t-144}{(t-9)(t+9)}\geqslant 0,\qquad \dfrac{2t^{2}-12t+18}{(t-9)(t+9)}\geqslant 0.$$
Числитель сворачивается в полный квадрат: $2t^{2}-12t+18=2(t-3)^{2}$. Получаем:
$$\dfrac{(t-3)^{2}}{(t-9)(t+9)}\geqslant 0.$$
Числитель $\geqslant 0$ всегда и равен нулю при $t=3$. Значит дробь неотрицательна либо в точке $t=3$, либо там, где знаменатель положителен. При $t\gt 0$ знаменатель $(t-9)(t+9)\gt 0$ при $t\gt 9$ (множитель $t+9$ положителен всегда). Итак, $t=3$ или $t\gt 9$.
Возвращаемся к $x$: $t=3$ даёт $x=1$; $t\gt 9$ даёт $x\gt 2$. Итог: $\{1\}\cup(2;+\infty)$.
$\{1\} \cup [(2; +\infty)$