Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004396

Дробное неравенство со степенью $8^{x}$. Заменим её буквой и перенесём всё в одну сторону.

Пусть $t=8^{x}$, $t\gt 0$. Тогда $8^{x+1}=8t$, $64^{x}=t^{2}$. Перенесём $1$ влево:

$$\dfrac{8t-40}{2t^{2}-32}-1\lt 0,\qquad \dfrac{8t-40-(2t^{2}-32)}{2t^{2}-32}\lt 0,\qquad \dfrac{-2(t^{2}-4t+4)}{2(t^{2}-16)}\lt 0.$$

Сократим двойку и свернём числитель в квадрат: $\dfrac{-(t-2)^{2}}{(t-4)(t+4)}\lt 0$. Умножим на $-1$ (знак переворачивается):

$$\dfrac{(t-2)^{2}}{(t-4)(t+4)}\gt 0.$$

Числитель $(t-2)^{2}\gt 0$ при $t\ne 2$. Значит дробь положительна, когда $(t-4)(t+4)\gt 0$. С учётом $t\gt 0$ это $t\gt 4$.

Возвращаемся к $x$: $8^{x}\gt 4$ даёт $x\gt\log_8 4=\dfrac23$ (ведь $8^{2/3}=4$).