ID: 00004389
а) Решите уравнение $\dfrac{9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11\sin x}} = 0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{7\pi}{2}; 5\pi \right]$.
Источник: ФИПИ
Сначала учтём область допустимых значений (ОДЗ) — значения $x$, при которых уравнение имеет смысл.
Под знаком корня в знаменателе должно быть положительное число: $11\sin x>0$, то есть $\sin x>0$.
Пункт а. Дробь равна нулю при нулевом числителе и ОДЗ. Приравняем показатели степеней тройки ($9^{\sin 2x}=3^{2\sin 2x}$):
$$2\sin 2x=2\sqrt2\sin x\;\Rightarrow\;\sin 2x=\sqrt2\sin x$$
Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и вынесем $\sin x$ (помним $\sin x>0$):
$$\sin x\,(2\cos x-\sqrt2)=0\;\Rightarrow\;\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\ \text{и}\ \sin x>0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7 \pi}{2};\,5 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{7 \pi}{2};\,5 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{17 \pi}{4}$$
а) $\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z$
б) $\dfrac{17\pi}{4}$