Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00004389

Сначала учтём область допустимых значений (ОДЗ) — значения $x$, при которых уравнение имеет смысл.

Под знаком корня в знаменателе должно быть положительное число: $11\sin x>0$, то есть $\sin x>0$.

Пункт а. Дробь равна нулю при нулевом числителе и ОДЗ. Приравняем показатели степеней тройки ($9^{\sin 2x}=3^{2\sin 2x}$):

$$2\sin 2x=2\sqrt2\sin x\;\Rightarrow\;\sin 2x=\sqrt2\sin x$$

Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и вынесем $\sin x$ (помним $\sin x>0$):

$$\sin x\,(2\cos x-\sqrt2)=0\;\Rightarrow\;\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\ \text{и}\ \sin x>0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7 \pi}{2};\,5 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{7 \pi}{2};\,5 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{17 \pi}{4}$$