ID: 00004385
а) Решите уравнение $\sin 2x - \sin(-x) + 2\cos(-x) + 1 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$.
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$ и сгруппируем:
$$\sin x(2\cos x+1)+(2\cos x+1)=0$$
Вынесем $(2\cos x+1)$:
$$(2\cos x+1)(\sin x+1)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{3 \pi}{2}, \frac{8 \pi}{3}$$
а) $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$
б) $\frac{3 \pi}{2}, \frac{8 \pi}{3}$