Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00004385

Пункт а. Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$ и сгруппируем:

$$\sin x(2\cos x+1)+(2\cos x+1)=0$$

Вынесем $(2\cos x+1)$:

$$(2\cos x+1)(\sin x+1)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{3 \pi}{2}, \frac{8 \pi}{3}$$