ID: 00004381
а) Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{2}\cos(x + \pi) = 0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 3\pi; \dfrac{9\pi}{2} \right]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и $\cos(x+\pi)=-\cos x$:
$$2\sin x\cos x-\sqrt2\cos x=0$$
Вынесем $\cos x$:
$$\cos x\,(2\sin x-\sqrt2)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{7 \pi}{2}, \frac{17 \pi}{4}, \frac{9 \pi}{2}$$
а) $x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$
б) $\frac{7 \pi}{2}, \frac{17 \pi}{4}, \frac{9 \pi}{2}$