Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00004381

Пункт а. Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и $\cos(x+\pi)=-\cos x$:

$$2\sin x\cos x-\sqrt2\cos x=0$$

Вынесем $\cos x$:

$$\cos x\,(2\sin x-\sqrt2)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{7 \pi}{2}, \frac{17 \pi}{4}, \frac{9 \pi}{2}$$