ID: 00004380
а) Решите уравнение $2 \cos^2 x + 3 \sin(-x) - 3 = 0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi; \dfrac{7\pi}{2}]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение $\sin(-x)=-\sin x$ и $\cos^2 x=1-\sin^2 x$:
$$2(1-\sin^2 x)-3\sin x-3=0$$
Квадратное (умножим на $-1$):
$$2\sin^2 x+3\sin x+1=0,\quad (2\sin x+1)(\sin x+1)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{19 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{2}$$
а) $-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
б) $\dfrac{19\pi}{6}; \dfrac{7\pi}{2}$