ID: 00004378
а) Решите уравнение $2 \sin^2 x + \cos(-x) - 1 = 0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\dfrac{9\pi}{2}; -3\pi]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение $\cos(-x)=\cos x$ и $\sin^2 x=1-\cos^2 x$:
$$2(1-\cos^2 x)+\cos x-1=0$$
Квадратное относительно $\cos x$:
$$2\cos^2 x-\cos x-1=0,\quad (2\cos x+1)(\cos x-1)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=1\;\Rightarrow\;x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{9 \pi}{2};\,- 3 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{9 \pi}{2};\,- 3 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- 4 \pi, - \frac{10 \pi}{3}$$
а) $\pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
б) $-\dfrac{10\pi}{3}; -4\pi$