ID: 00004376
а) Решите уравнение $\sqrt{3} \text{tg}^2 x - 4 \text{tg} x + \sqrt{3} = 0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi; \dfrac{5\pi}{2}]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Квадратное относительно $\operatorname{tg} x$. Дискриминант $16-12=4$:
$$\operatorname{tg} x=\sqrt3\quad\text{или}\quad \operatorname{tg} x=\tfrac{1}{\sqrt3}$$
Выпишем все серии корней:
$$\operatorname{tg} x=\sqrt3\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\operatorname{tg} x=\tfrac{\sqrt3}{3}\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\,\frac{5 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\pi;\,\frac{5 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{7 \pi}{6}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{3}$$
а) $\dfrac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \dfrac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
б) $\dfrac{7\pi}{6}; \dfrac{4\pi}{3}; \dfrac{13\pi}{6}; \dfrac{7\pi}{3}$