ID: 00004375
а) Решите уравнение $2 \sin^2 \left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) + \cos(\pi - x) = 0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение $\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x$ (значит $\sin^2=\cos^2 x$) и $\cos(\pi-x)=-\cos x$:
$$2\cos^2 x-\cos x=0$$
Вынесем $\cos x$:
$$\cos x\,(2\cos x-1)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{5 \pi}{3}, - \frac{3 \pi}{2}, - \frac{\pi}{2}$$
а) $x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$
б) $- \frac{5 \pi}{3}, - \frac{3 \pi}{2}, - \frac{\pi}{2}$