Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00004375

Пункт а. Приведение $\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x$ (значит $\sin^2=\cos^2 x$) и $\cos(\pi-x)=-\cos x$:

$$2\cos^2 x-\cos x=0$$

Вынесем $\cos x$:

$$\cos x\,(2\cos x-1)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{5 \pi}{3}, - \frac{3 \pi}{2}, - \frac{\pi}{2}$$