ID: 00004371
а) Решить уравнение $16^{\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-5\pi; -\dfrac{7\pi}{2}]$.
Источник: ФИПИ
Пункт а. Замена $t=4^{\sin x}>0$ ($16^{\sin x}=t^2$):
$$t^2-6t+8=0,\quad t_1=2,\ t_2=4$$
Обратно: $4^{\sin x}=2\Rightarrow \sin x=\tfrac12$; $4^{\sin x}=4\Rightarrow \sin x=1$.
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 5 \pi;\,- \frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 5 \pi;\,- \frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{23 \pi}{6}, - \frac{7 \pi}{2}$$
а) $\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$
б) $-\dfrac{7\pi}{2}; -\dfrac{23\pi}{6}$