Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00004371

Пункт а. Замена $t=4^{\sin x}>0$ ($16^{\sin x}=t^2$):

$$t^2-6t+8=0,\quad t_1=2,\ t_2=4$$

Обратно: $4^{\sin x}=2\Rightarrow \sin x=\tfrac12$; $4^{\sin x}=4\Rightarrow \sin x=1$.

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 5 \pi;\,- \frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 5 \pi;\,- \frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{23 \pi}{6}, - \frac{7 \pi}{2}$$