Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00004330

Пункт а. Приведём к $3^x$ и домножим на $3^x>0$:

$$3^{4x}-36\cdot 3^{2x}+243=0$$

Замена $t=3^{2x}>0$:

$$t^2-36t+243=0,\quad t_1=27,\ t_2=9$$

Обратно: $3^{2x}=27\Rightarrow x=\tfrac32$; $3^{2x}=9\Rightarrow x=1$.

Выпишем все серии корней:

$$x_1=\tfrac32,\qquad x_2=1$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\log_7 4;\,\log_7 16\right]$. Для каждого корня проверим двойное неравенство $\frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}\le x\le \frac{\log{\left(16 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$ и оставим попавшие на отрезок.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$1$$