Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00003400

Во втором логарифме основание $x^{2}+10x+25=(x+5)^{2}$ — оно зависит от $x$. Удобно ввести одну букву для $\log_2(x+5)$ и свести всё к привычной дроби.

Область определения: $x+5\gt 0$ (то есть $x\gt -5$), а основание $(x+5)^{2}\ne 1$ выкалывает $x=-4$ и $x=-6$. Внутри $x\gt -5$ это значит только $x\ne -4$.

Перепишем оба логарифма через $t=\log_2(x+5)$. Первый: $\log_{16}(x+5)=\dfrac14\log_2(x+5)=\dfrac{t}{4}$ (ведь $16=2^{4}$). Второй: $\log_{(x+5)^{2}}2=\dfrac{1}{\log_2(x+5)^{2}}=\dfrac{1}{2t}$. Неравенство становится:

$$\dfrac{t}{4}+\dfrac{1}{2t}\geqslant \dfrac34.$$

Умножим всё на $4$ и перенесём вправо налево: $t+\dfrac{2}{t}-3\geqslant 0$. Приведём к одной дроби:

$$\dfrac{t^{2}-3t+2}{t}\geqslant 0,\qquad \dfrac{(t-1)(t-2)}{t}\geqslant 0.$$

Методом интервалов (точка $t=0$ выколота) получаем $0\lt t\leqslant 1$ или $t\geqslant 2$.

Возвращаемся к $x$ через $x+5=2^{t}$. Из $0\lt t\leqslant 1$: $1\lt x+5\leqslant 2$, то есть $-4\lt x\leqslant -3$. Из $t\geqslant 2$: $x+5\geqslant 4$, то есть $x\geqslant -1$. Вместе — $(-4;-3]\cup[-1;+\infty)$.