Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00003361

Та же идея, что и в типовой задаче: под логарифмами выражение $-2-x$ и его квадрат. Приведём всё к основанию $5$.

Так как $x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}$, область определения задаётся условием $-2-x\gt 0$, то есть $x\lt -2$. На этой области $|x+2|=-2-x$.

Перейдём к основанию $5$: $\log_{625}(-2-x)=\dfrac14\log_5(-2-x)$, $\log_5\big((x+2)^{2}\big)=2\log_5(-2-x)$. Умножив на $4$ и вынеся логарифм:

$$(x^{2}-8)\,\log_5(-2-x)\geqslant 0.$$

Теперь произведение неотрицательно — множители одного знака (или один из них ноль). Знаки: $\log_5(-2-x)\gt 0$ при $-2-x\gt 1$ (то есть $x\lt -3$), ноль при $x=-3$, отрицателен при $-3\lt x\lt -2$. Скобка $x^{2}-8$ на области $x\lt -2$ положительна при $x\lt -2\sqrt2$ и отрицательна при $-2\sqrt2\lt x\lt -2$.

Ищем, где множители одного знака: при $x\leqslant -3$ (оба $\geqslant 0$) и при $-2\sqrt2\leqslant x\lt -2$ (оба $\leqslant 0$, плюс ноль скобки при $x=-2\sqrt2$).