Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00003353

Сверху стоит смесь показательных слагаемых, снизу — обычный квадратный многочлен от $x$. План такой: числитель разложить на множители, знаменатель тоже, а потом расставить знаки по числовой прямой (метод интервалов).

Разложим числитель группировкой. Заметим, что $15^{x}=3^{x}\cdot 5^{x}$, а $3^{x+1}=3\cdot 3^{x}$ и $5^{x+1}=5\cdot 5^{x}$. Обозначим $a=3^{x}$, $b=5^{x}$. Тогда числитель превращается в $ab-3a-5b+15$. Сгруппируем: $a(b-3)-5(b-3)=(a-5)(b-3)$. Возвращаем степени: это $(3^{x}-5)(5^{x}-3)$.

Знаменатель проще: $-x^{2}+2x=x(2-x)$. Неравенство приняло вид:

$$\dfrac{(3^{x}-5)(5^{x}-3)}{x(2-x)}\geqslant 0.$$

Найдём, где каждый множитель равен нулю. $3^{x}=5$ при $x=\log_3 5\approx 1{,}46$; $5^{x}=3$ при $x=\log_5 3\approx 0{,}68$. Знаменатель равен нулю при $x=0$ и $x=2$ — эти точки выколем.

Расставим на прямой наши четыре числа по возрастанию: $0\lt \log_5 3\lt \log_3 5\lt 2$. Между ними дробь меняет знак. Проверяя по одной точке в каждом промежутке, получаем, что дробь неотрицательна на $(0;\log_5 3]$ и на $[\log_3 5;2)$.

Важная мелочь, на которой легко споткнуться: $\log_5 3$ (это $\approx 0{,}68$) и $\log_3 5$ (это $\approx 1{,}46$) — разные числа, их нельзя путать местами. Меньшее идёт в левую границу, большее — в правую.