Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00003352

В обеих дробях сидит $7^{x}$. Заменим её буквой и решим обычное дробное неравенство.

Пусть $t=7^{x}$, $t\gt 0$. Перенесём всё влево:

$$\dfrac{2}{t-7}-\dfrac{5}{t-4}\geqslant 0.$$

Сложим дроби через общий знаменатель $(t-7)(t-4)$; числитель: $2(t-4)-5(t-7)$:

$$\dfrac{2(t-4)-5(t-7)}{(t-7)(t-4)}\geqslant 0,\qquad \dfrac{-3t+27}{(t-7)(t-4)}\geqslant 0.$$

В числителе вынесем $-3$: $-3t+27=-3(t-9)$. Разделим обе части на $-3$ — а при делении на отрицательное число знак неравенства переворачивается:

$$\dfrac{t-9}{(t-7)(t-4)}\leqslant 0.$$

Точки: $t=9$ (числитель ноль — входит), $t=7$ и $t=4$ (знаменатель ноль — выколоты). С учётом $t\gt 0$ дробь не больше нуля на $0\lt t\lt 4$ и на $7\lt t\leqslant 9$.

Возвращаемся к $x$: $7^{x}\lt 4$ даёт $x\lt\log_7 4$; $7\lt 7^{x}\leqslant 9$ даёт $1\lt x\leqslant\log_7 9$.