Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00003349

Здесь две дроби, и в обеих сидит одна и та же степень $3^{x}$. Чтобы не путаться, заменим её одной буквой и будем решать обычное неравенство с дробями.

Пусть $t=3^{x}$. Сразу отметим важное: степень $3^{x}$ всегда положительна, поэтому $t\gt 0$. Неравенство превращается в:

$$\dfrac{1}{t+21}+\dfrac{1}{t-27}\geqslant 0.$$

Сложим две дроби в одну. Общий знаменатель — это $(t+21)(t-27)$, а в числителе сложатся $(t-27)$ и $(t+21)$:

$$\dfrac{(t-27)+(t+21)}{(t+21)(t-27)}\geqslant 0,\qquad \dfrac{2t-6}{(t+21)(t-27)}\geqslant 0.$$

Посмотрим на множитель $t+21$. Так как $t\gt 0$, он точно положителен. На положительный множитель можно сократить, не меняя знак неравенства. Останется:

$$\dfrac{2(t-3)}{t-27}\geqslant 0.$$

Отметим на прямой две точки: $t=3$ (тут числитель равен нулю — точка входит) и $t=27$ (тут знаменатель равен нулю — точка выколота). Дробь меняет знак в этих точках. Проверкой получаем: дробь неотрицательна на $0\lt t\leqslant 3$ и на $t\gt 27$.

Возвращаемся к $x$. Условие $3^{x}\leqslant 3$ означает $x\leqslant 1$. Условие $3^{x}\gt 27=3^{3}$ означает $x\gt 3$.