Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00003348

В неравенстве намешаны разные показательные слагаемые. Идея: всё выражается через две базовые степени — $2^{x}$ и $3^{x}$. Обозначим их буквами и разложим на множители.

Пусть $a=2^{x}$ и $b=3^{x}$ (обе положительны). Распишем каждое слагаемое: $12^{x}=4^{x}\cdot 3^{x}=a^{2}b$, $8^{x}=a^{3}$, $6^{x+1}=6ab$, $4^{x+1}=4a^{2}$, $3^{x}=b$, $2^{x+5}=32a$. Неравенство принимает вид:

$$a^{2}b-a^{3}-12ab+12a^{2}+32b-32a\leqslant 0.$$

Сгруппируем слагаемые по парам так, чтобы из каждой вынести $(b-a)$:

$$a^{2}(b-a)-12a(b-a)+32(b-a)\leqslant 0.$$

Вынесем $(b-a)$ за скобку, а оставшийся трёхчлен $a^{2}-12a+32$ разложим как $(a-4)(a-8)$:

$$(b-a)(a-4)(a-8)\leqslant 0,\qquad\text{то есть}\qquad (3^{x}-2^{x})(2^{x}-4)(2^{x}-8)\leqslant 0.$$

Определим знак каждого множителя. $3^{x}-2^{x}\gt 0$ при $x\gt 0$ (тогда $(3/2)^{x}\gt 1$) и равен нулю при $x=0$. $2^{x}-4$ меняет знак в точке $x=2$, а $2^{x}-8$ — в точке $x=3$.

Отметим нули $0,\,2,\,3$ и проверим знак произведения по промежуткам. При $x\lt 0$ все три скобки отрицательны — произведение отрицательно (подходит). На $(0;2)$ оно положительно, на $(2;3)$ снова отрицательно, при $x\gt 3$ положительно. Значит ответ: $x\leqslant 0$ и $2\leqslant x\leqslant 3$.