Числа и их… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00003345

Что дано: трёхзначное число $N$, $s$ — сумма его цифр, и отношение $r=\dfrac{N}{s}$ оказалось целым. Будем этим пользоваться.

Очень поможет одно школьное свойство: число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на $9$. Коротко: $N\equiv s\pmod 9$ (значок $\equiv \pmod 9$ читается «даёт такой же остаток при делении на $9$»).

Пункт а). Может ли $r=34$? Достаточно примера. Возьмём $N=102$: сумма цифр $s=1+0+2=3$, и $\dfrac{102}{3}=34$. Значит — да.

Пункт б). Может ли $r=84$? Тогда $N=84s$. Применим свойство: $N\equiv s\pmod 9$, то есть $84s\equiv s\pmod 9$, значит $83s\equiv 0\pmod 9$. Так как $83$ даёт остаток $2$ при делении на $9$, выходит $2s\equiv 0\pmod 9$, а это возможно лишь когда $s$ делится на $9$.

Для трёхзначного $N=84s$ годится только $s=9$ (при $s\geqslant 18$ число $84s$ уже больше $999$). Тогда $N=84\cdot 9=756$. Но сумма цифр $756$ равна $7+5+6=18$, а не $9$ — противоречие. Значит $r=84$ невозможно.

Пункт в). Первая цифра равна $4$, поэтому $400\leqslant N\leqslant 499$. Чтобы отношение $r=\dfrac{N}{s}$ было поменьше, выгодно брать число $N$ небольшим, а сумму цифр $s$ — побольше. И помним: $r$ целое, то есть $N$ делится на $s$ (а ещё $N-s$ делится на $9$).

Будем перебирать числа с большой суммой цифр. У числа $N=468$ сумма $s=4+6+8=18$ и $\dfrac{468}{18}=26$ — целое, отлично. Меньшего целого отношения не получить: при первой цифре $4$ число $N\geqslant 400$, а сумма цифр не больше $22$, поэтому $r\geqslant \dfrac{400}{22}\gt 18$; перебор оставшихся допустимых сумм цифр показывает, что ближайшее достижимое целое значение — именно $26$. Наименьшее значение отношения — 26.