Global EE

Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00003052

Задание №14. Уравнения

Тригонометрические уравнения

№2. Задание 14

ID: 00003052

$\text{а) Решите уравнение } \sin 2x + 2 \sin(-x) + \cos(-x) - 1 = 0.$

$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right].$

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а. Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$ и сгруппируем:

$$2\sin x(\cos x-1)+(\cos x-1)=0$$

Вынесем $(\cos x-1)$:

$$(\cos x-1)(2\sin x+1)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=1\;\Rightarrow\;x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$2 \pi, \frac{19 \pi}{6}$$

Ответ

$\text{Ответ для части а):}$

$x = 2\pi k, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad k, n, m \in \mathbb{Z}$

$\text{б) Корни на отрезке } \left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$

$1. \text{ Корень вида } x = 2\pi k \text{ при } k = 1:$

$x = 2\pi \quad \text{(принадлежит отрезку)}$

$2. \text{ Корень вида } x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \text{ при } n = 2:$

$x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} \quad \text{(принадлежит отрезку)}$

Другие задания по теме «Тригонометрические уравнения» (8)