ID: 00003044
$\text{а) Решите уравнение } \cos 2x + \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0.$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right] \text{.}$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Используем $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ и $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$:
$$2\cos^2 x-1+\cos x+1=0$$
Вынесем общий множитель $\cos x$:
$$\cos x\,(2\cos x+1)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{5 \pi}{2};\,- \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{5 \pi}{2};\,- \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{5 \pi}{2}, - \frac{3 \pi}{2}, - \frac{4 \pi}{3}$$
$\text{Ответ: } x = -\frac{3\pi}{2}$
$x = -\frac{5\pi}{2}$
$x = -\frac{4\pi}{3}$