Пункт а. Используем \cos 2x=2\cos^2 x-1 и \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x:

2\cos^2 x-1+\cos x+1=0

Вынесем общий множитель \cos x:

\cos x\,(2\cos x+1)=0

Выпишем все серии корней:

\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

\cos x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[- \frac{5 \pi}{2};\,- \pi\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[- \frac{5 \pi}{2};\,- \pi\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

- \frac{5 \pi}{2}, - \frac{3 \pi}{2}, - \frac{4 \pi}{3}