Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00003044

Пункт а. Используем $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ и $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$:

$$2\cos^2 x-1+\cos x+1=0$$

Вынесем общий множитель $\cos x$:

$$\cos x\,(2\cos x+1)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{5 \pi}{2};\,- \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{5 \pi}{2};\,- \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{5 \pi}{2}, - \frac{3 \pi}{2}, - \frac{4 \pi}{3}$$