Global EE

Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00003041

Задание №14. Уравнения

Тригонометрические уравнения

№2. Задание 14

ID: 00003041

$\text{а) Решите уравнение } 2 \cos(\pi + 2x) - 2 - \sqrt{8} \cos x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \cos x.$

$\text{б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right] \text{ .}$

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а. Приведение $\cos(\pi+2x)=-\cos 2x$ и $\cos 2x=2\cos^2 x-1$; соберём квадратное по $\cos x$:

$$4\cos^2 x+(2\sqrt2+2\sqrt3)\cos x+\sqrt6=0$$

Разложим на множители:

$$(2\cos x+\sqrt2)(2\cos x+\sqrt3)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=-\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi}{2};\,2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{\pi}{2};\,2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{5 \pi}{4}$$

Ответ

$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} \qquad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi c, c \in \mathbb{Z}$

$\text{б)} \left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$

$A: \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{5\pi}{6}$

$B: -\frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 1 = \frac{7\pi}{6}$

$C: -\frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 1 = \frac{5\pi}{4}$

$D: \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4}$

Другие задания по теме «Тригонометрические уравнения» (8)