ID: 00003037
$\text{а) Решите уравнение } 2 \sin^2 x \cos x + \sqrt{3} \cos^2 x = \sqrt{3}.$
$\text{б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right] \text{ .}$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Заменим $\sin^2 x=1-\cos^2 x$:
$$2(1-\cos^2 x)\cos x+\sqrt3\cos^2 x-\sqrt3=0$$
Группировка по $(\cos^2 x-1)$:
$$(\cos^2 x-1)(\sqrt3-2\cos x)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=1\;\Rightarrow\;x=2\pi n;\quad \cos x=-1\;\Rightarrow\;x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5 \pi}{2};\,4 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{5 \pi}{2};\,4 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$3 \pi, \frac{23 \pi}{6}, 4 \pi$$
$\text{Ответ: а) } x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, x = 2\pi m, m \in \mathbb{Z}, x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi c, c \in \mathbb{Z};$
$\text{б) } 3\pi, \quad \frac{23\pi}{6}, 4\pi$