ID: 00002568
$\text{а) Решите уравнение } 2\cos^3 x - \cos^2 x + 2 \cos x - 1 = 0.$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащее отрезку } \left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right].$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель:
$$\cos^2 x(2\cos x-1)+(2\cos x-1)=0$$
Получаем произведение, где $\cos^2 x+1>0$:
$$(2\cos x-1)(\cos^2 x+1)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\quad(\cos^2 x+1\neq0)$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{7 \pi}{3}$$
$\text{б) Ответ:}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$\text{Корни на заданном отрезке: } \frac{7\pi}{3}$