ID: 00002492
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 312500 рублей.
Какую сумму (в рублях) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?
Источник: ФИПИ
В этой задаче кредит гасится равными ежегодными платежами, поэтому удобно работать с формулой суммы геометрической прогрессии.
Каждый январь долг увеличивается на 25 %, то есть умножается на $q=1{,}25$, а затем вносится один и тот же платёж $X$. Всего таких платежей 4, после последнего долг равен нулю.
Записав, что после каждого платежа от долга остаётся «прошлый долг $\times q$ минус $X$», и собрав все шаги вместе, получаем равенство для суммы кредита $S$:
$$S\cdot q^{4}=X\left(q^{3}+q^{2}+\dots+q+1\right)=X\cdot\dfrac{q^{4}-1}{q-1}.$$
Отсюда $S=X\cdot\dfrac{q^{4}-1}{(q-1)\,q^{4}}$. Подставляя $q=1{,}25$ и считая по действиям, получаем, что планируется взять 738 000 рублей.
Полезно проверить себя: подставьте найденную сумму обратно и 4 раз выполните «умножение на $q$ и вычитание платежа» — долг должен обнулиться ровно после последнего года. Типичная ошибка — забыть, что проценты начисляются на остаток долга, а не на исходную сумму.
738000