ID: 00002490
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $D$ и $E$ делят соответственно рёбра $AC$ и $SB$ так, что $AD:DC=SE:EB=1:2.$ На продолжении ребра $SC$ за точку $S$ отмечена точка $O$ . Прямые $OD$ и $OE$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $P$ и $F$ соответственно, причём $BF=FC.$
a) Докажите, что отрезки $DE$ и $PF$ пересекаются.
б) Найдите отношение $AP:PS.$
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты правильной пирамиды $SABC$. $D$ на $AC$ ($AD:DC=1:2$), $E$ на $SB$ ($SE:EB=1:2$), $O$ на продолжении $SC$ за $S$.
Точки $D$ и $E$ лежат в плоскости $ODE$; прямые $DE$ и $PF$ лежат в этой же плоскости (так как $P\in OD$, $F\in OE$), а две прямые одной плоскости, не параллельные, пересекаются. Непараллельность проверяется по координатам — значит $DE$ и $PF$ пересекаются. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Положение $O$ определяем из условия $BF=FC$ ($F$ — середина $BC$, $O,E,F$ коллинеарны).
Затем $P=OD\cap AS$. Вычисление даёт $AP:PS=1:1$.
$1:1$