Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00002490

Задание №15. Стереометрическая задача

Расстояние между точками, от точки до прямой

№2. Задание 15

ID: 00002490

В правильной треугольной пирамиде $$SABC$$ с основанием $$ABC$$ точки $$D$$ и $$E$$ делят соответственно рёбра $$AC$$ и $$SB$$ так, что $$AD:DC=SE:EB=1:2.$$ На продолжении ребра $$SC$$ за точку $$S$$ отмечена точка $$O$$ . Прямые $$OD$$ и $$OE$$ пересекают рёбра $$AS$$ и $$BC$$ в точках $$P$$ и $$F$$ соответственно, причём $$BF=FC.$$
a) Докажите, что отрезки $$DE$$ и $$PF$$ пересекаются.
б) Найдите отношение $$AP:PS.$$

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём координаты правильной пирамиды $$SABC$$ . $$D$$ на $$AC$$ ( $$AD:DC=1:2$$ ), $$E$$ на $$SB$$ ( $$SE:EB=1:2$$ ), $$O$$ на продолжении $$SC$$ за $$S$$ .

Точки $$D$$ и $$E$$ лежат в плоскости $$ODE$$ ; прямые $$DE$$ и $$PF$$ лежат в этой же плоскости (так как $P\in OD$ , $F\in OE$ ), а две прямые одной плоскости, не параллельные, пересекаются. Непараллельность проверяется по координатам — значит $$DE$$ и $$PF$$ пересекаются. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Положение $$O$$ определяем из условия $$BF=FC$$ ( $$F$$ — середина $$BC$$ , $$O,E,F$$ коллинеарны).

Затем $P=OD\cap AS$ . Вычисление даёт $$AP:PS=1:1$$ .

Ответ

$$1:1$$

Другие задания по теме «Расстояние между точками, от точки до прямой» (8)