Показательная и логарифмическая функции в ЕГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Логарифмическая функция в ЕГЭ по математике профиль идёт в паре с показательной: это одна пара взаимно обратных функций. Теории в теме на одну страницу, а применяется она в заданиях 7, 8, 12 и 16.

Суть простыми словами

Показательная функция y = aˣ при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает. Всегда проходит через точку (0; 1), принимает только положительные значения, ось x — её асимптота.

Логарифмическая функция y = logₐ x определена только при x > 0, проходит через точку (1; 0), при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает. Основание a положительное и не равно 1. Ось y — вертикальная асимптота.

Эти функции взаимно обратны: их графики симметричны относительно прямой y = x. Поэтому свойства одной читаются по другой: aˣ = y значит x = logₐ y.

Примеры. Если график y = aˣ проходит через (2; 9), то a² = 9 и a = 3. Если график y = log₂ x проходит через (8; 3), всё сходится: 2³ = 8. Сдвиг y = log₂(x − 1) определён при x > 1, его асимптота — прямая x = 1.

Монотонность — главный инструмент неравенств: функция растёт или убывает, и от этого зависит знак. В задании 12 демо-2027 один из вариантов — график показательной функции вида f(x) = aˣ: основание находят по точке графика, а потом считают нужное значение.

Где встречается на экзамене

В кодификаторе ЕГЭ эти функции — элемент 3.5. Задание с графиком в 2026 году имело номер 11, в 2027-м это 12.

Где ошибаются

1. Путают растущую и убывающую. Смотри на основание: больше 1 — растёт, между 0 и 1 — убывает.
2. Не проверяют аргумент логарифма. В log₈(5x + 47) = 3 после ответа x = 93 аргумент равен 512 > 0 — проверка занимает секунду, а в уравнениях с x в двух местах она отсекает посторонние корни.
3. Берут основание ≤ 0 или 1. Для a ≤ 0 и a = 1 функция aˣ не показательная.
4. Путают асимптоту. У aˣ асимптота горизонтальная y = 0, у logₐ x вертикальная x = 0.
5. Ошибаются в сдвиге. y = log₂(x − 1) сдвинута вправо, а не влево.

Шпаргалка за 30 секунд

Графики aˣ и logₐ x симметричны относительно y = x. Чтобы найти основание по графику, подставь точку с известными координатами.

На тренажёре Как решать логарифмы: рост, график, децибелы колония клеток удваивается, а рядом строится зеркальный логарифм — так симметрия относительно y = x запоминается сама. После этого найди основание по графику в 12 задание ЕГЭ профиль и посмотри, как монотонность решает 16 задание ЕГЭ профиль. Сдвиги вроде log₂(x − 1) понятнее всего, когда их рисуют у тебя на глазах; так их и разбирают на пробном занятии.