Производная в ЕГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Производная ЕГЭ профиль встречается дважды: в задании 9 её читают по рисунку, а в новом задании 17 по ней ищут оптимум в прикладной задаче. В базовом экзамене производная живёт в задании 7, где по графику подбирают характеристики интервалам.

Суть простыми словами

Производная показывает скорость: насколько быстро меняется значение функции в данной точке. Геометрически f′(x₀) — угловой коэффициент касательной, проведённой в точке x₀. Знак производной говорит о поведении функции: f′ > 0 — функция растёт, f′ < 0 — убывает. Смена знака с плюса на минус даёт максимум, с минуса на плюс — минимум.

Таблицу производных профильный ЕГЭ не выдаёт, её держат в голове: (c)′ = 0, (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (u + v)′ = u′ + v′, (uv)′ = u′v + uv′.

Как это выглядит в задании 9: в демоверсии 2027 дан график f′ и спрашивают, сколько точек минимума у f на отрезке. Ищут не «ямки» на рисунке, а места, где график f′ пересекает ось x снизу вверх.

Где встречается на экзамене

• Задание 9 ЕГЭ профиль — производная и первообразная: знак производной, касательная, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения, площадь через интеграл. Базовый уровень, 1 балл. В 2026 году этот номер был восьмым.
• Задание 17 ЕГЭ профиль — появилось в 2027 году: функцию строят по условию и находят её наибольшее или наименьшее значение. Развёрнутый ответ, 2 балла.
• Задание 7 ЕГЭ база — производная в базовом экзамене: по графику описать поведение функции и поставить интервалам характеристики, 1 балл.

Где ошибаются

1. Читают график f′ как график f. Если нарисована производная, то «график поднимается» ничего не говорит о росте f. Рост f — там, где точки графика f′ лежат выше оси x.
2. Считают экстремумом каждый ноль производной. У y = x³ производная 3x² равна нулю в точке 0, но знак не меняется, и экстремума нет.
3. Берут угловой коэффициент касательной без знака. Возьми две точки касательной в узлах клеток и посчитай Δy / Δx: если прямая идёт вниз слева направо, ответ отрицательный.
4. Дифференцируют произведение по частям. (x · eˣ)′ равно eˣ + x · eˣ, а не eˣ: множители не дифференцируют отдельно.

Шпаргалка за 30 секунд

Дальше по теме — исследование функции с помощью производной: там тот же знак f′ превращается в алгоритм. Прототипы с графиками собраны на странице задания 9, а вопросы по своей задаче можно задать преподавателю на пробном занятии по математике.