В словосочетании «мечта заработать» главное слово — «мечта», а зависимое — инфинитив (неопределённая форма глагола) «заработать»; это слово неизменяемо и связано с главным только по смыслу, — поэтому это связь примыкание.

Чтобы получить управление, главное слово «мечта» оставляем без изменения, а зависимое слово «заработать» заменяем однокоренным существительным и ставим его в нужный падеж (при необходимости с предлогом).

При управлении главное слово требует от зависимого существительного определённого падежа («о заработке»), и при изменении главного слова этот падеж не меняется.

Получаем синонимичное словосочетание «мечта о заработке» со связью управление.