Гидростатика — Задание 20 ОГЭ по физике №00040574

По рисунку кубик завис на границе двух жидкостей: нижняя часть в воде, верхняя — в неизвестной жидкости, которая накрывает кубик сверху полностью. Значит, выталкивают кубик обе жидкости, и по равновесию можно вычислить плотность верхней.

Что известно. Ребро $a=10\ \text{см}=0{,}1$ м, глубина в воде $h=2\ \text{см}=0{,}02$ м, плотность кубика $\rho=840\ \text{кг/м}^{3}$, плотность воды из таблицы $\rho_{\text{в}}=1000\ \text{кг/м}^{3}$. Найти надо $\rho_{\text{ж}}$.

Условие плавания. Кубик покоится, значит сила тяжести равна сумме двух архимедовых сил:

$$mg=\rho_{\text{в}}gV_{\text{в}}+\rho_{\text{ж}}gV_{\text{ж}}.$$

$g$ входит в каждое слагаемое и сокращается.

Расписываем через ребро кубика. Площадь любого горизонтального сечения кубика равна $a^{2}$, поэтому:

• масса кубика $m=\rho a^{3}$;
• объём в воде $V_{\text{в}}=a^{2}h$;
• объём в неизвестной жидкости $V_{\text{ж}}=a^{2}(a-h)$ — это весь остаток кубика, ведь жидкость покрывает его выше верхней грани.

Получаем $\rho a^{3}=\rho_{\text{в}}a^{2}h+\rho_{\text{ж}}a^{2}(a-h)$. Делим на $a^{2}$:

$$\rho a=\rho_{\text{в}}h+\rho_{\text{ж}}(a-h)\ \Rightarrow\ \rho_{\text{ж}}=\dfrac{\rho a-\rho_{\text{в}}h}{a-h}.$$

Считаем.

$\rho_{\text{ж}}=\dfrac{840\cdot0{,}1-1000\cdot0{,}02}{0{,}1-0{,}02}=\dfrac{84-20}{0{,}08}=\dfrac{64}{0{,}08}=800\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^{3}}$.

Проверка на здравый смысл: полученные $800\ \text{кг/м}^{3}$ действительно меньше плотности воды, как и сказано в условии, и меньше плотности кубика ($840$) — иначе кубик всплыл бы целиком в верхнюю жидкость.