Гидростатика — Задание 20 ОГЭ по физике №00040446

На рисунке кубик висит прямо на границе двух жидкостей: нижняя часть кубика в воде, верхняя — в керосине, и керосин накрывает кубик целиком. Значит, выталкивают его сразу две жидкости, и обе надо учесть.

Что известно. Плотность кубика $\rho=900\ \text{кг/м}^{3}$, глубина погружения в воду $h=4\ \text{см}=0{,}04$ м. Из таблицы: плотность воды $\rho_{\text{в}}=1000\ \text{кг/м}^{3}$, плотность керосина $\rho_{\text{к}}=800\ \text{кг/м}^{3}$. Ребро кубика обозначим $a$.

Условие равновесия. Кубик плавает — сила тяжести уравновешена суммой двух архимедовых сил:

$$mg=\rho_{\text{в}}gV_{\text{в}}+\rho_{\text{к}}gV_{\text{к}},$$

где $V_{\text{в}}$ — объём части кубика в воде, $V_{\text{к}}$ — объём части в керосине. Ускорение $g$ есть в каждом слагаемом и сокращается.

Выражаем объёмы через ребро. У кубика площадь грани $a^{2}$, поэтому:

• масса кубика $m=\rho a^{3}$;
• часть в воде: $V_{\text{в}}=a^{2}h$;
• часть в керосине: $V_{\text{к}}=a^{2}(a-h)$ — это весь оставшийся кусок кубика, ведь керосин покрывает его полностью.

Подставляем и сокращаем.

$$\rho a^{3}=\rho_{\text{в}}a^{2}h+\rho_{\text{к}}a^{2}(a-h).$$

Делим всё на $a^{2}$ — остаётся простое линейное уравнение:

$$\rho a=\rho_{\text{в}}h+\rho_{\text{к}}(a-h).$$

Раскроем скобки и соберём $a$ в одну сторону: $\rho a-\rho_{\text{к}}a=h(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{к}})$, откуда

$$a=\dfrac{h(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{к}})}{\rho-\rho_{\text{к}}}.$$

Считаем. $a=\dfrac{0{,}04\cdot(1000-800)}{900-800}=\dfrac{0{,}04\cdot200}{100}=0{,}08\ \text{м}=8\ \text{см}$.

Проверим по смыслу: $4$ см из $8$ — ровно половина кубика в воде. Тогда средняя плотность «воды с керосином» под кубиком равна $\dfrac{1000+800}{2}=900\ \text{кг/м}^{3}$ — как раз плотность кубика. Сходится.